Exercícios sobre teorema da bissetriz interna

Na figura, $\;\overline{AD}\;$ é bissetriz interna relativa ao lado $\;\overline{BC}\;$. Calcule a medida do segmento $\;\overline{AD}\;$, sendo $\;AB \;= 6 cm$, $\;AC\; = 10 cm$ e $\;m(A\hat{B}C) = 90^o$.

figura do exercício sobre Teorema da Bissetriz Interna

figura do exercício sobre Teorema da Bissetriz Interna

resposta:

Resolução:
Observação: O teorema da bissetriz versa que a reta bissetriz de um dos ângulos do triângulo divide o lado oposto a este ângulo em dois segmentos proporcionais às medidas dos lados adjacentes ao ângulo.

triângulo retângulo ABC teoria da bissetriz interna answerm1606221458.png

Pelo Teorema de Pitágoras:
$(\overline{AC})^2 = (\overline{AB})^2 + (\overline{BC})^{2} \;\Rightarrow $
$\;10^2\;= \;6^2 + (\overline{BC})^2 \; \Rightarrow
\;\overline{BC} = \sqrt{64} \;\Longrightarrow \; \overline{BC} = 8$
portanto, na figura $\;a + b\; =\; 8$
Pelo Teorema da Bissetriz Interna,
$\frac{6}{a}\; = \;\frac{10}{b}$$\Rightarrow 5a - 3b \;=\;0$
então:
$\begin{align} 3a + 3b = 24 \phantom{XXXX} (I) \\ \;5a - 3b =\; 0 \phantom{XXXX}(II) \end{align}$
Somando (I) e (II) $\Longrightarrow 5a + 3a = 24 \Longrightarrow$
$\;a \; = 3\;$ e $\;b\;=\;5$
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD:
$\;h^2 = 6^2 + 3^2 \;\;\Rightarrow h^2 \;= 36 + 9 \;\;\Rightarrow h\;=\; 3\sqrt{5} $

Resposta:
A medida do segmento $\;\overline{AD}\;$ é $\;3\sqrt{5}\;cm$
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No triângulo $\,ABC\,$ da figura, $\,\overline{AS}\,$ é bissetriz interna relativa do vértice $\,A\,$.
Prove que $\;\dfrac{AB}{AC}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\;$ (sugestão: Teorema de Tales)

triângulo provar teorema da bissetriz interna

resposta: demonstração.

demonstração do teorema da bissetriz interna utilizando o teromea de Tales

1. No triângulo $\,ABC\,$, construimos $\, \overleftrightarrow{MC}\,//\, \overleftrightarrow{AS}\,\longrightarrow\;$ pelo teorema fundamental do paralelismo temos
$\,\hat{M}\,=\,B\hat{A}S\,=\,\alpha\,$ (ângulos correspondentes)
$\,\hat{C}\,=\,C\hat{A}S\,=\,\alpha\,$ (alternos internos)
Se $\,\hat{M}\,=\,\hat{C}\,=\,\alpha\,\therefore\,\,\triangle ACM\,$ é isósceles com $\,\boxed{\,\overline{AC}\,\cong\,\overline{AM}\,}$
2. Pelo Teorema de Tales:
$\phantom{X}\dfrac{AB}{AM}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\phantom{X}$, mas $\,\overline{AC}\,\cong\,\overline{AM}\,$ então: $\phantom{X}\dfrac{AB}{AC}\,=\,\dfrac{BS}{CS}\phantom{X}$

c.q.d.

(MAPOFEI) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m . Determine os lados desse triângulo.

resposta:

Resolução:Teorema da Bissetriz

Construindo-se a bissetriz de um ângulo de um triângulo, determinam-se no lado oposto segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.

Na figura ao lado, um triângulo ABC de lados de medidas a, b e c, onde $\,\overleftrightarrow{AS}\,$ é a bissetriz do ângulo no vértice A.
Sabemos no enunciado que

$\,m\,=\,16\,$ e $\,n\,=\,24\,$, então o lado c do triângulo mede $\,c\,=\,m\,+\,n\,=\,16\,+\,24\,=\,40\;\Rightarrow\;\boxed{\,c\,=\,40\,m\,}\,$

O perímetro do triângulo é 100 m, então a soma $\,a\,+\,b\,+\,c\,=\,100\;\Rightarrow\;a\,+\,b\,+\,40\,=\,100\,$ $\Rightarrow\,a\,+\,b\,=\,60\,$(I)

Se os lados são proporcionais aos segmentos gerados pela bissetriz (TEOREMA DA BISSETRIZ) então temos conforme a figura: $\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{m}{n}\,$ $\Rightarrow\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\,$(II)(I) e (II)$\,\longrightarrow\,\left\{\begin{array}{rcr} \,a\,+\,b\,=\,60\,& \\ \dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$ $\Rightarrow\,a\,=\,\dfrac{2b}{3}\phantom{X}\Rightarrow\;\dfrac{2b}{3}\,+\,b\,=\,60 $
$\,\Rightarrow\;5b\,=\,180\;\Rightarrow\;\boxed{\,b\,=\,36\,m\,}\;a\,=\,\dfrac{2b}{3}\;\Rightarrow\,\boxed{\,a\,=\,24\,m\,}$

Resposta:

Os lados do triângulo são 24m, 36m e 40m
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